GEOMETRI EUCLID

14 September 2011

 

 

 

 

 

 

i

 

Kali ini saya tertarik untuk membahas tentang seorang filosof matematika yang karyanya sampai saat ini sangat terpakai. Dialah “EUCLID” seorang matematikawan yang berasal dari Yunani. Beliau sangat terkenal lewat penemuan-penemuannya di bidang geometri dan dikumpulkan dalam karyanya yang berjudul “the element” Euclid ini adalah salah satu murid dari akademi Plato di Athena. Euclid lahir sekitar tahun 330 SM dan meninggal sekitar 260 SM. Tahun tersebut hanya perkiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan bahwa Euclid hidup antara tahun 330 – 275 SM. Tidak ada catatan tentang tempat dan tanggal kelahiran Euclid secara pasti, serta sedikit yang diketahui tentang kehidupan pribadinya. Namun pada masa pemerintahan Ptolemy I, Euclid mengajar matematika di Alexandria, Mesir. Pada era Euclid matematika lebih dikenal sebagai sains dan bukan
mistik. Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang
abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Euclid dapat
disebut juga sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena
peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The
Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku
tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa
dan matematikawaan terbesar Yunani.
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan
rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang
terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga
sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada
cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya
secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini yang
paling utama adalah pemilihan dalil-dalil serta
perhitungan-perhitungannya. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia
mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Dia
pun menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan
dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang
terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama
merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping
itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori
penjumlahan.
Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000
tahun dan tak perlu diragukan lagi merupakan textbook yang paling
sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun
bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua
textbook yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah
digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The
Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama
muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh
Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam
beribu-ribu edisi yang beragam corak.
Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh
lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika.
Buku itu merupakan contoh yang komplit tentang struktur deduktif dan
sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi
otak manusia.
Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor
penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan
bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan
bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar
yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara
kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan, dengan analisa
hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.
D. PEMIKIRAN DAN KARYA EUCLID
Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan
mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid
merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir
hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor
Archimedes.
Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid
apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua
preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban
Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban
ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid. Selanjutnya
jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu
pembuktian.
Euclid banyak menulis buku, diantaranya yang terkenal dan masih tersimpan, antara lain :
a. The Elements, pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri
b. The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait dengan jilid ke-4 buku The Elements
c. On Divisions of Figures, menyangkut pembagian bidang geometris
menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau dengan rasio tertentu
d. Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin cekung
e. Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola.
f. Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu
Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut
disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Hal-hal yang
dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di bawah
sudut yang lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah
sudut yang sama adalah sama.
Karya – karya lain yang dipercaya merupakan karya dari Euclid tetapi telah hilang adalah sebagai berikut :
1. Conics adalah sebuah karya tentang kerucut yang kemudian diperluas
oleh Apollonius dari Perga. Kemungkinan bahwa empat buku pertama karya
Apollonius berasal dari Euclid.
2. Porisms membahas mengenai kerucut,
3. Pseudaria, atau Kitab Fallacies, adalah teks dasar tentang kesalahan dalam penalaran.
4. Beberapa karya dalam bidang mekanika.
The Elements dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri
dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku
diawali dengan difinisi, aksioma (hanya untuk buku I), preposisi,
theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi
dan aksioma yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482,
diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks
geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi
masing-masing buku. Sebuah pendekatan sistematik dan aksiomatik dalam
membahas persoalan geometri. Terdiri dari 13 buku dengan tema beragam,
yaitu:
Buku Topik
I Triangle, Parallels and Area (Segitiga, Kesejajaran dan Luas)
II Geometric Algebra (Aljabar Geometri)
III Circles (Lingkaran)
IV Inscribed and Circumscribed Objects (Melukis dan Membatasi Objek)
V Abstract Proportions
VI Similarity (Kesebangunan)
VII Fundamentals of Number Theory (Dasar-dasar Teori Bilangan)
VIII Continued Proportions in Number Theory (Proporsi Lanjutan dalam Teori Bilangan)
IX Number Theory (Teori Bilangan)
X Incommensurable (Rational vs Irrasional) Numbers
XI Solid Geometry (Geometri padat)
XII Measurement (Pengukuran)
XIII Regular Solid (Benda Padat Beraturan)
Euclid mencetuskan 5 aksioma yang kemudian menjadi pokok bahasan, yaitu :
1. To draw a straight line from any point to any point.
2. To produce a finite straight line continuously in a straight line.
3. To describe a circle with any center and radius.
4. That all right angles equal one another.
5. That, if a straight line falling on two straight lines make the
interior angles on the same side less than two right angles, the two
straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which
are the angles less than the two right angels.
Teorema-teorema pada The Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno mengganti dengan yang baru dan disederhanakan. Element menjadi buku teks baku abadi dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.